Bu tezde Hom-Lie-Hopf cebirler tanımlanmıştır ve bu cebir tanımında
kullanılacak olan; Hom-cebir, Hom-eşcebir, Hom-Lie cebir, Hom-Bicebir, Hom-Hopf
cebir tanımları verilmiştir. Ayrıca, etki ve eşetki yardımıyla cebirler ve eşcebirler
üzerinde tanımlanan Hom-modül cebir, Hom-modül eşcebir, Hom-eşmodül cebir ve
Hom-eşmodül eşcebir tanımları ve özellikleri üzerinde durulmuştur. Ek olarak, bir
Hom-Lie cebirin evrensel zarflama cebirinin tanımı verilmiştir. Kullanılacak
tanımlardan olan, iki Hom-Hopf cebir ve bunların aralarındaki etki ile oluşan çift
çapraz çarpım Hom-Hopf cebir tanımı verilmiştir. Benzer olarak, iki Hom-Hopf cebir
ve bunlar arasındaki etki ve eşetki ile oluşan ikili çapraz çarpım Hom-Hopf cebir
tanımı verilmiştir. Son olarak, bahsedilen Hom-Hopf cebirlerde dual tanımına yer
verilmiştir.
Hom-Lie-Hopf cebirler tanımlanırken yukarıdaki tanımlamalardan aşağıdaki
gibi yararlanılmıştır. Hom-Lie-Hopf cebirler, eşlenmiş çift Hom-Lie cebir ikilisi olan
(𝔤��, 𝔥��) üzerinde tanımlanırlar. Belirtilen Hom-Lie cebirlerin evrensel zarflama cebirleri
sırasıyla 𝒰��(𝔤��) ve 𝒰��(𝔥��) olan Hom-Hopf cebirlerdir. Evrensel zarflama cebiri olan
𝒰��(𝔤��) ve 𝒰��(𝔥��) eşlenmiş çift Hom-Hopf cebir ikilisini oluştururlar ve bu yapı sayesinde
çift çapraz çarpım Hom-Hopf cebir olan 𝒰��(𝔤��) ⋈ 𝒰��(𝔥��) yapısı elde edilir. Dualleme
ile 𝒰��(𝔥��)o yapısının da bir Hom-Hopf cebir olduğu gösterildikten sonra 𝒰��(𝔥��)o ile
𝒰��(𝔤��) yapısının karşılıklı Hom-Hopf cebir çifti olduğu gösterilir. Elde edilen bu Hom-
Hopf cebir çifti sayesinde ikili çapraz çarpım Hom-Hopf cebiri olan 𝒰��(𝔥��)o 𝒰��(𝔤��)
bulunur. Sonuç olarak elde edilen bu Hom-Hopf cebiri Hom-Lie-Hopf cebir olarak
adlandırılmıştır.
In this thesis, the Hom-Lie-Hopf algebras are defined. In order to define the
algebra, the definitions of Hom-algebra, Hom-coalgebra, Hom-bialgebra, Hom-Hopf
algebra are given. In addition, the action and coaction over algebras and coalgebras
are used to obtain Hom-module algebra, Hom-module coalgebra, Hom-comodule
algebra, and Hom-comodule coalgebra and their properties are studied. Also, the
definition of universal enveloping algebra of Hom-Lie algebra is given. The definition
of double cross product of two Hom-Hopf algebras via actions are given. Furthermore,
the definition of bicross product of two Hom-Hopf algebras via action and coaction
are given. Finally, duality over the Hom-Hopf algebras are mentioned.
The Hom-Lie-Hopf algebras are defined with the help of definitions above as
follows. Hom-Lie-Hopf algebras are defined over matched pair of Hom-Lie algebras
(𝔤�, 𝔥�). The universal enveloping algebras of them are Hom-Hopf algebras 𝒰�(𝔤�) and
𝒰�(𝔥�) respectively. The double cross product Hom-Hopf algebra 𝒰�(𝔤�) ⋈ 𝒰�(𝔥�) is
constructed via the universal enveloping algebras 𝒰�(𝔤�) and 𝒰�(𝔥�). The Hom-Hopf
algebra 𝒰�(𝔥�)o is obtained with duality. The bicross product Hom-Hopf algebra is
gained from the pair of Hom-Hopf algebras 𝒰�(𝔥�)o and 𝒰�(𝔤�). Hom-Hopf algebra
𝒰�(𝔥�)o 𝒰�(𝔤�) is found from the mentioned pair. As the result, the Hom-Hopf algebra
is named as Hom-Lie-Hopf algebra.
